Олександр Поповцев народився 18 серпня 1986 року в смт Десна Козелецького району Чернігівської області. Він навчався в київській середній школі №12 і пізніше закінчив Національний технічний університет «Київський політехнічний інститут», здобувши кваліфікацію бакалавра за фахом «Інженер-механік приладів, систем орієнтації та навігації і управління літаючими об’єктами».
В особистому житті Олександр одружений з Яною Вікторівною Поповцевою, яка раніше займалася діяльністю кафе в Одесі, але пізніше припинила цю діяльність. У пари двоє синів – Артемій і Марк.
Кар’єра Олександра Поповцева почалася з підприємницької діяльності, і в 2007-2014 роках він займався бізнесом. У 2011-2015 роках працював як фізособа-підприємець, надаючи послуги з ремонту автотранспортних засобів. З 2013 по 2016 рік він очолював компанію «Барс-Україна», яка займалася діяльністю телефонних центрів і комп’ютерним програмуванням. Потім, у 2014-2018 роках, Олександр працював інспектором із роботи з громадськістю в КП «Київжитлоспецексплуатація», а з 2018 до 2020 року був начальником відділу головного диспетчера цього підприємства. З 2020 року він став першим заступником голови Шевченківської районної державної адміністрації Києва.
У січні 2022 року, після звільнення попереднього очільника Шевченківської РДА Олега Гаряги, Олександра Поповцева було призначено тимчасовим виконувачем обов’язків голови цієї адміністрації розпорядженням президента Володимира Зеленського. Це призначення стало частиною реформи місцевого самоврядування, коли в Україні змінився порядок призначення голів районних держадміністрацій. Це рішення також викликало політичні суперечки в Києві, коли мер Віталій Кличко заявив про втручання Кабміну в роботу місцевих органів влади.
У фінансових питаннях, згідно з декларацією, Олександр володіє двома земельними ділянками та квартирою в Києві. У той час як його дружина має Lexus RX 350, зареєстрований на її ім’я. Станом на 2020 рік, доходи Олександра Поповцева склали 459 781 гривню, з яких основну частину склала його зарплата на різних посадах у КМДА та КП «Київжитлоспецексплуатація». У нього також є заощадження в розмірі 620 000 гривень готівкою і 26 951 гривня на банківських рахунках.
Олександр Поповцев також нагороджений грамотою Асоціації «ЖБК та ОСББ Шевченківського району Києва» за активну участь у покращенні життя району, що підкреслює його вплив на місцеву громаду.